問題文より，示された数 $\sqrt{\displaystyle\frac{123!-122!}{122!-121!}}$ が有理数であることから根号を外す必要があることが分かりますが，そのままの状態では外すことができないので，根号内を計算することを考えます．$N$ を $2$ 以上の正整数としたとき，階乗 $N!$ は $N!=N\times(N-1)!$ を満たすので，$$123!-122!=(123-1)\times122!=122^2\times121!$$ $$122!-121!=(122-1)\times121!=121\times121!=11^2\times121!$$ が成立します．よって，求める答えは $$\sqrt{\frac{123!-122!}{122!-121!}}=\sqrt{\frac{122^2}{11^2}}=\mathbf{\frac{122}{11}}$$ となります．