まず，$2023$以上$2099$以下の整数に条件を満たす数があるか考える． これらは千の位で$2$，百の位で$0$を使っているため，十の位，一の位で使用できる数字は$0$と$2$のみである． 千の位が$2$，百の位が$0$，かつ下二桁に$0$と$2$しか現れない数の中で最大のものは$2022$であるから，$2023$以上$2099$以下の整数に条件を満たす数は存在しない．

続いて，$2100$以上$2199$以下の整数に条件を満たす数があるか考える． これらは千の位で$2$，百の位で1を使っているため，十の位，一の位で使用できる数字は$1$と$2$のみである． ここで，$3$の倍数であるという条件を無視し，それ以外の条件を満たす数を列挙すると，$2111$，$2112$，$2121$，$2122$の$4$数が考えられる． この中で$3$の倍数であるものは，$2112$，$2121$のみである． 条件を満たす中で最小のものを答えるので，求める答えは $\mathbf{2112}$ である．