求める正整数を $N$ とおいて考えます。

$N+10$ も $10N$ も平方数 ですので，正整数 $A,B$ を用いて $N+10=A^2, 10N=B^2$ と書けます。第2式について，$B$ は $10$ で割り切れるので，$N$ も $10$ で割り切れます。

$n$ を正整数として $N=10n$ とおくと，$10(n+1)=A^2, n=\left(\dfrac{B}{10}\right)^2$ が成り立つので，$n$ は平方数となります。

$m$ を正整数として $n=m^2$ とおくと，$10(m^2+1)=A^2$ が成り立ちます。$m^2+1$ が $10$ で割り切れるのは，$m\equiv 3, 7\ (mod. 10)$ のときなので実際に $m=3$ を代入してみると $N=90$ となりますが，$90+10=100=10^2, 90\times 10=900=30^2$ となり条件を満たします。よって、答えるべきは $\mathbf{90}$ です。