まず基本的な感覚として，正整数 $a,b$ と正整数の定数 $c$ が $a+b=c$ を満たすように $a,b$ が動いたとき，積 $ab$ の値は $\lvert a-b\rvert$ が小さいほど大きくなります。これは次のように示されます。

これより，$a+b=90$ かつ $\mathrm{gcd}(a,b)=1$ なる組 $(a,b)$ のうち，$\lvert a-b\rvert$ が最小になるものを求めればよいです。$a,b$ が偶数の場合は排除してよいので奇数のときのみ考えます。実際答えは $a=43,b=47$ のときだとすぐに分かり，答えるべきは $43\times 47=\mathbf{2021}$ です。