$\dfrac{n^2+1}{2m}$ が整数であることから $n$ は奇数ゆえ，$n=2k+1\ (k\in\mathbb{Z}_{\geq 0})$ とおく。$k=0$ のとき，$m=1$ に限られ，このとき $\sqrt{2^{n-1}+m+4}=\sqrt{4^k+4+m}=\sqrt{6}$ となり整数にならないので不適。よって $k\geq 1$ 。

さらに，$m\leq 2k^2+2k+1$ が成り立つことに注意すると，$\sqrt{2^{2k}+4+m}$ について，$(2^k)^2=2^{2k},(2^k+1)^2=2^{2k}+2^{k+1}+1, (2^k+2)^2=2^{2k}+2^{k+2}+4$ を考えて，

1. $(0<)4+m<2^{k+1}+1$，すなわち $m<2^{k+1}-3$ のとき，$2^{2k}<2^{2k}+4+m<2^{2k}+2^{k+1}+1$ であるから $2^{2k}+4+m$ は平方数にならないので不適。
2. $4+m\geq 2^{k+1}+1$，すなわち $m\geq 2^{k+1}-3$ のとき，$2^{2k}+4+m$ は平方数になり得る。このとき $2k^2+2k+1\geq 2^{k+1}-3$ が成り立つことが必要で，これを解いて $k\leq 5$ を得る。またこのとき，$m\leq 2k^2+2k+1< 2^{k+2}$ が成り立つので，$m=2^{k+1}-3$ となる。

以上より考えるべきは $k=1,2,3,4,5$ の高々 $5$ 通りに絞られる。実際に計算すれば，

1. $k=1$ のとき，$m=1, n=3$ で，$\frac{9+1}{2}=5$ より適する。
2. $k=2$ のとき，$m=5, n=5$ で，$\frac{25+1}{10}\notin\mathbb{Z}$ より不適。
3. $k=3$ のとき，$m=13, n=7$ で，$\frac{49+1}{26}\notin\mathbb{Z}$ より不適。
4. $k=4$ のとき，$m=29, n=9$ で，$\frac{81+1}{58}\notin\mathbb{Z}$ より不適。
5. $k=5$ のとき，$m=61, n=11$ で，$\frac{121+1}{122}=1$ より適する。

となる。よって，求める解は $(m,n)=\mathbf{(1,3),(61,11)}$ である。