以下、$x\neq \dfrac{k\pi}{2^t}\ (t=0,1,\dots,n; k\in\mathbb{Z})$ であるから、$\sin{2^tx}\neq 0\ (t=0,1,\dots,n)$ である。

まず，$n=1$ の場合，すなわち $\dfrac{1}{\sin{2x}}=\cot{x}-\cot{2x}$ を示す。$\cot{x}=\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}$ ゆえ， $$\begin{align*} (右辺)&=\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}-\dfrac{\cos{2x}}{\sin{2x}}\\ &=\dfrac{2\cos^2{x}-(2\cos^2{x}-1)}{2\sin{x}\cos{x}}\\ &=\dfrac{1}{\sin{2x}}=(左辺) \end{align*}$$ より示された。

次に，$\dfrac{1}{\sin{2^kx}}=\cot{2^{k-1}x}-\cot{2^kx}\ (k=2,3,\dots,n)$ であることを示すが，これは上で示した式の $x$ を $2^{k-1}x$ に置き換えれば明らか。

これより， $$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sin{2^kx}} &= \sum_{k=1}^{n}\left(\cot{2^{k-1}x}-\cot{2^kx}\right) \\ &= \cot{x}-\cot{2^nx} \end{align*}$$ が成り立つ。よって示すべき等式は示された。$\square$