$1$ 桁の素数は $2,3,5,7$ の $4$ つだけなので，$n$ の値を決めたとき $n+2024, n-34$ の各桁もそれぞれ素数になるかどうか，$1$ 桁ずつ順番に考えていけば解くことができます．説明のため，$k=0,1,2$ として，$n$ の $10^k$ の位の数を $a_k$ と書くことにします．また，以下合同式の法は $10$ とします．

まず $10^0$ の位から見ると、$a_0+4\equiv 2,3,5,7$ かつ $a_0-4\equiv a_0+6\equiv 2,3,5,7$ なので，$a_0=1,9$ であることが分かります．

次に $10^1$ の位を考えます．$a_0=1$ のとき，$n+2024$ に繰り上がりは発生せず，$n-34$ には繰り下がりが発生することに注意します．条件を式に表すと $a_1+2\equiv 2,3,5,7$ かつ $a_1-3-1\equiv a_1+6\equiv 2,3,5,7$ なので，$a_0=1$ のとき $a_1=1$ のみであることが分かります．続けて $10^2$ の位も考えると，$n+2024$ に繰り上がりは発生せず，$n-34$ には繰り下がりが発生することに注意して条件を式に表すと，$a_2\equiv 2,3,5,7$ かつ $a_2-1\equiv a_2+9\equiv 2,3,5,7$ となるので，このとき $a_2=3$ であることが分かります．よって $n=311$ は答えの一つです．

今度は $a_0=9$ のときを考えます．$10^1$ の位に注目して条件を考えると，$n+2024$ には繰り上がりが発生し，$n-34$ には繰り下がりが発生しないため，$a_1+2+1\equiv a_1+3\equiv 2,3,5,7$ かつ $a_1-3\equiv a_1+7\equiv 2,3,5,7$ より，$a_0=9$ のとき $a_1=0$ であることが分かります．さらにこのとき $10^2$ の位について考えると，$n+2024$ には繰り上がりは発生せず，$n-34$ に繰り下がりが発生するので，$a_2\equiv 2,3,5,7$ かつ $a_2-1\equiv a_2+9\equiv 2,3,5,7$ となり，$a_2=3$ であることが分かります．よって，$n=309$ は答えの一つです．

以上より全ての場合を確認したため，求める解答は $\mathbf{309,311}$ です．